Rockafellar & Uryasev《Optimization of Conditional Value-at-Risk》论文阅读

0. 论文解决了什么问题

上一篇 Artzner 等人的论文回答了： 一个合理的风险度量应当满足什么性质？ Rockafellar 与 Uryasev 这篇论文进一步回答： CVaR 理论性质较好，但怎样把它真正写进优化模型，并计算出最优决策？ VaR 的优点是直观：它给出尾部风险开始的损失门槛。但它也有明显局限：

• 它通常不能告诉我们越过门槛以后会亏得多严重；
• 一般情况下不满足次可加性；
• 关于决策变量可能不凸、不光滑，在场景模型中不容易直接优化。 CVaR 则衡量进入尾部以后损失的平均水平。本文最重要的贡献，是构造了一个辅助函数，把 CVaR 优化转化为凸优化；在有限场景下，问题还可以进一步转化为线性规划，并在优化 CVaR 的同时得到对应的 VaR。

1. VaR 与 CVaR

假设未来有 100 种等概率情况，并将损失从小到大排列。 取：

$\beta=0.95$

假设前 95 种情况下，损失都不超过 10 万元；最差的 5 种情况下，损失分别为：

$12,\ 14,\ 18,\ 20,\ 36\text{ 万元}$

那么：

$\operatorname{VaR}_{0.95}=10\text{ 万元}$

它表示： 约 95% 的情况下，损失不会超过 10 万元。 而：

$\operatorname{CVaR}_{0.95} = \frac{12+14+18+20+36}{5} = 20\text{ 万元}$

它表示： 一旦进入最差的 5% 情况，平均损失为 20 万元。 因此可以简单记忆：

• VaR：尾部风险从哪里开始；
• CVaR：进入尾部以后，平均会亏多少。

2. 符号与基本定义

符号 含义 $x$ 决策向量，例如不同资产的配置比例 $y$ 随机向量，例如未来各资产的收益率 $f(x,y)$ 决策 $x$ 在场景 $y$ 下产生的损失 $\beta$ 预先设定的概率水平，例如 0.95 $\alpha$ 优化过程中尝试的候选损失门槛 $\alpha_\beta(x)$ 决策 $x$ 对应的 $\beta$ -VaR $\phi_\beta(x)$ 决策 $x$ 对应的 $\beta$ -CVaR 在投资组合问题中：

$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

表示资产权重，

$y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$

表示各资产收益率。 投资组合收益为：

$x^Ty$

因此，以“损失”为统一口径时：

$f(x,y)=-x^Ty$

收益为正时，损失为负；收益为负时，损失为正。

2.1 损失的累积分布函数

论文定义：

$\Psi(x,\alpha) = P\bigl(f(x,y)\leq\alpha\bigr)$

它表示： 在决策 $x$ 下，损失不超过门槛 $\alpha$ 的概率。

2.2 VaR 的正式定义

$\alpha_\beta(x) = \min\left\{ \alpha\in\mathbb{R}: \Psi(x,\alpha)\geq\beta \right\}$

也就是说： 在所有候选损失门槛中，找到第一个使“损失不超过该门槛的概率”达到 $\beta$ 的门槛。 例如：

$P(L\leq100)=0.95$

且 100 是满足该条件的最小门槛，则：

$\operatorname{VaR}_{0.95}=100$

2.3 CVaR 的正式定义

令：

$L=f(x,y)$

在论文假设损失分布连续的情况下：

$\phi_\beta(x) = E\left[ L\mid L\geq\alpha_\beta(x) \right]$

其中 $E$ 表示期望，即按照概率加权的平均值；竖线 $\mid$ 表示“在……条件下”。 因此，该式表示： 在损失已经进入 VaR 所划分的尾部区域时，平均损失是多少。 其积分形式为：

$\phi_{\beta}(x) = \frac{1}{1-\beta} \int_{f(x,y)\geq \alpha_{\beta}(x)} f(x,y)\,p(y)\,dy$

其中：

• $p(y)$ 是场景 $y$ 的概率密度；
• 积分只覆盖损失达到或超过 VaR 的尾部区域；
• 尾部区域的总概率为 $1-\beta$ 。 积分首先得到“尾部损失对全部场景期望的贡献”，再除以尾部概率 $1-\beta$ ，才得到“进入尾部以后”的条件平均损失。

3. CVaR 辅助函数

直接优化 CVaR 的困难在于： CVaR 的定义依赖 VaR，而 VaR 又会随着决策 $x$ 的变化而变化。 作者为此构造辅助函数：

$F_{\beta}(x,\alpha) = \alpha + \frac{1}{1-\beta} E\left[ \bigl(f(x,y)-\alpha\bigr)^+ \right]$

其中：

$[t]^+=\max(t,0)$

因此：

$\bigl(f(x,y)-\alpha\bigr)^+$

表示损失超过候选门槛 $\alpha$ 的部分；如果损失没有超过门槛，则记为 0。 可以把辅助函数理解为：

$F_{\beta} = \underbrace{\alpha}_{\text{候选损失门槛}} + \underbrace{\text{经尾部概率缩放后的平均超额损失}}_{\text{只惩罚超过门槛的部分}}$

例如候选门槛为 10 万元： 实际损失 损失减门槛 正部 6 万 -4 万 0 10 万 0 0 12 万 2 万 2 万 20 万 10 万 10 万 需要注意： 任意给定的 $\alpha$ 下， $F_\beta(x,\alpha)$ 只是辅助函数值；只有当 $\alpha$ 取到最优值时，它才等于 CVaR。

4. 定理 1：同时得到 VaR 与 CVaR

论文证明：

$\phi_\beta(x) = \min_{\alpha\in\mathbb{R}} F_\beta(x,\alpha)$

也就是说，对于固定决策 $x$ ：

• 使 $F_\beta(x,\alpha)$ 最小的候选门槛，对应 VaR；
• 此时辅助函数的最小值，对应 CVaR。 在通常的唯一解情况下，可以写成：

$\alpha^*=\operatorname{VaR}_\beta(x)$

$F_\beta(x,\alpha^*) = \operatorname{CVaR}_\beta(x)$

4.1 为什么最优 $\alpha$ 是 VaR

论文给出：

$\frac{\partial F_\beta(x,\alpha)}{\partial\alpha} = \frac{\Psi(x,\alpha)-\beta}{1-\beta}$

左边表示： 固定 $x$ ，只调整候选门槛 $\alpha$ 时，辅助函数的变化速度。 当 $\alpha$ 提高时：

• 第一项 $\alpha$ 以速度 1 上升；
• 超额损失部分下降，其下降速度取决于当前有多大概率的损失超过门槛。 因此：
• 当 $\Psi(x,\alpha)<\beta$ 时，导数小于 0，说明门槛过低，应继续提高；
• 当 $\Psi(x,\alpha)>\beta$ 时，导数大于 0，说明门槛过高，应降低；
• 当辅助函数达到最低点时，导数为 0。 于是：

$\Psi(x,\alpha^*)=\beta$

即：

$P\bigl(f(x,y)\leq\alpha^*\bigr)=\beta$

这正是 VaR 分位点的定义。

5. 定理 2：直接寻找 CVaR 最低的决策

定理 1 解决的是： 固定一个决策 $x$ ，怎样计算其 VaR 和 CVaR？ 但实际问题通常是： 在所有允许的决策中，哪个决策的 CVaR 最低？ 原问题为：

$\min_{x\in X} \operatorname{CVaR}_\beta(x)$

其中 $X$ 是所有可行决策组成的集合。 根据定理 1，论文证明：

$\min_{x\in X} \operatorname{CVaR}_\beta(x) = \min_{\substack{x\in X\\\alpha\in\mathbb{R}}} F_\beta(x,\alpha)$

因此，可以同时调整：

• $x$ ：实际决策；
• $\alpha$ ：候选 VaR 门槛。 一次优化即可得到：
• $x^*$ ：CVaR 最低的决策方案；
• $\alpha^*$ ：该方案对应的 VaR；
• $F_\beta(x^*,\alpha^*)$ ：该方案对应的 CVaR。 如果：
• 每个场景下的损失 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是凸函数；
• 可行集合 $X$ 是凸集； 那么这一问题就是凸优化问题。

6. 有限场景近似

理论辅助函数中包含期望：

$E\left[ \bigl(f(x,y)-\alpha\bigr)^+ \right]$

但现实中通常不知道真实概率分布。例如在电力市场中，很难准确知道：

• 电价分布；
• 用户负荷分布；
• 电价与负荷的联合分布；
• 极端场景的准确概率。 因此，可以准备有限个历史或模拟场景：

$y_1,y_2,\ldots,y_q$

其中 $q$ 是场景总数。 如果这些场景等概率，则用场景平均近似期望：

$\widetilde{F}_{\beta}(x,\alpha) = \alpha + \frac{1}{q(1-\beta)} \sum_{k=1}^{q} \left[ f(x,y_k)-\alpha \right]^+$

该函数仍然是凸的，并且关于 $\alpha$ 是 分段线性的 。 例如有 1000 个电价—负荷场景：

$q=1000$

则分别计算：

$f(x,y_1),f(x,y_2),\ldots,f(x,y_{1000})$

再统计每个场景超过候选门槛 $\alpha$ 的损失。

7. 用辅助变量转化为线性规划

正部函数：

$\left[f(x,y_k)-\alpha\right]^+$

可以通过为每个场景引入辅助变量 $u_k$ 来表示。 设置：

$u_k\geq f(x,y_k)-\alpha$

$u_k\geq0$

由于目标函数希望 $u_k$ 尽可能小，最优解中必然有：

$u_k = \max\left( f(x,y_k)-\alpha,0 \right)$

于是目标函数改写为：

$\min_{x,\alpha,u} \left[ \alpha+ \frac{1}{q(1-\beta)} \sum_{k=1}^{q}u_k \right]$

如果每个场景下的损失 $f(x,y_k)$ 关于 $x$ 是线性的，那么目标函数和全部场景约束都是线性的，问题可以转化为标准线性规划。

8. 论文中的投资组合模型

假设有 $n$ 种资产。

8.1 已知数据

• $m$ ：各资产的平均收益向量；
• $y_k$ ：第 $k$ 个场景下各资产的收益向量；
• $q$ ：场景数量；
• $R$ ：最低预期收益要求；
• $\beta$ ：预先设定的置信水平。

8.2 决策变量

• $x_j$ ：第 $j$ 种资产的配置比例；
• $\alpha$ ：候选 VaR 门槛；
• $u_k$ ：第 $k$ 个场景的超额损失。 投资组合在场景 $k$ 下的损失为：

$f(x,y_k)=-x^Ty_k$

8.3 完整模型

$\begin{aligned} \min_{x,\alpha,u}\quad & \alpha+ \frac{1}{q(1-\beta)} \sum_{k=1}^{q}u_k \\[4pt] \text{s.t.}\quad & u_k\geq -x^Ty_k-\alpha, && k=1,\ldots,q,\\ & u_k\geq0, && k=1,\ldots,q,\\ & \sum_{j=1}^{n}x_j=1,\\ & x_j\geq0, && j=1,\ldots,n,\\ & x^Tm\geq R. \end{aligned}$

各约束含义如下：

场景超额损失约束

$u_k\geq -x^Ty_k-\alpha$

$u_k\geq0$

使 $u_k$ 自动等于场景损失超过门槛的部分。

资金全部配置

$\sum_{j=1}^{n}x_j=1$

表示全部资金均被配置。

不允许做空

$x_j\geq0$

表示各资产权重不能为负。

最低预期收益

$x^Tm\geq R$

用于避免模型通过牺牲全部收益来追求最低风险。 求解后可以得到：

• $x^*$ ：最优资产配置方案；
• $\alpha^*$ ：该组合对应的 VaR；
• 最优目标值：该组合对应的 CVaR；
• $u_k^*$ ：各场景超过 VaR 的超额损失。

9. 向售电公司中长期—现货购电问题迁移

这里不能只把“股票、债券”机械地替换成“年度、月度、现货”。 更重要的是重新定义：

• 决策变量；
• 场景变量；
• 电量平衡；
• 结算规则；
• 场景利润与损失。

9.1 一个最简化的变量设计

设：

• $Q^Y$ ：年度合同购电量；
• $Q^M$ ：月度合同购电量；
• $Q_k^S$ ：场景 $k$ 下的现货购电量；
• $L_k$ ：场景 $k$ 下的用户实际负荷。 最简电量平衡关系为：

$Q^Y+Q^M+Q_k^S=L_k$

因此：

$Q_k^S=L_k-Q^Y-Q^M$

年度和月度合同量是提前决策；现货采购量用于平衡不同场景下的实际负荷。

9.2 一个最简化的场景损失函数

设：

• $P^Y$ ：年度合同价格；
• $P^M$ ：月度合同价格；
• $P_k^S$ ：场景 $k$ 下的现货价格；
• $P^R$ ：零售侧售电价格；
• $C_k^{\mathrm{dev}}$ ：场景 $k$ 下的偏差或其他结算成本。 则场景 $k$ 下的损失可以写成：

$f(x,y_k) = P^YQ^Y + P^MQ^M + P_k^SQ_k^S + C_k^{\mathrm{dev}} - P^RL_k$

代入现货电量：

$f(x,y_k) = P^YQ^Y + P^MQ^M + P_k^S \left( L_k-Q^Y-Q^M \right) + C_k^{\mathrm{dev}} - P^RL_k$

该式表达：

$\text{损失} = \text{年度购电成本} + \text{月度购电成本} + \text{现货购电成本} + \text{偏差结算成本} - \text{售电收入}$

这只是一个用于建立直觉的最简模型。正式研究时，还需要根据具体省份规则处理：

• 中长期分时曲线；
• 现货日前与实时结算；
• 超购与少购的不同结算价格；
• 偏差费用；
• 中长期持仓比例要求；
• 用户零售套餐；
• 储能、需求响应等灵活资源。

9.3 售电公司的 CVaR 优化原型

可将目标写成：

$\min_{x,\alpha,u} \left[ \alpha+ \frac{1}{q(1-\beta)} \sum_{k=1}^{q}u_k \right]$

满足：

$u_k\geq f(x,y_k)-\alpha$

$u_k\geq0$

再加入：

• 各类合同购电量上下限；
• 电量平衡约束；
• 中长期最低持仓约束；
• 最低预期利润约束；
• 其他市场规则。 若要求预期利润至少达到 $\Pi_{\min}$ ，可以写成：

$E[\Pi(x,y)]\geq\Pi_{\min}$

或者使用损失口径：

$E[f(x,y)]\leq-\Pi_{\min}$

10. 本文最重要的认识

这篇论文真正教会我们的，不只是一个 CVaR 公式，而是一套完整的风险优化思路：

$\text{风险定义} \rightarrow \text{辅助函数} \rightarrow \text{凸优化} \rightarrow \text{场景近似} \rightarrow \text{线性规划} \rightarrow \text{实际决策}$

对电力市场建模而言，CVaR 优化框架已经比较清楚。下一阶段真正困难的部分不是继续替换符号，而是准确写出：

$f(x,y_k)$

也就是： 一个具体的购电策略，在一个具体的电价、负荷和结算场景下，究竟会产生多少利润或损失。 这将是下一阶段建模的核心。