随机规划系统复习：从 Two-stage 到电力交易实验框架

本文系统整理随机规划从两阶段补救、风险度量与样本平均近似，到多阶段策略、场景生成和电力交易教学实验框架的完整主线。

文中的电价、负荷、结算价差和概率均为教学算例，不代表任何地区的实际市场规则。

整条学习主线

随机规划可以沿着下面这条主线理解：

\boxed{ \text{不确定性} \rightarrow \text{Scenario} \rightarrow \text{Two-stage Recourse} \rightarrow \text{信息与随机解价值} \rightarrow \text{风险厌恶} \rightarrow \text{SAA} \rightarrow \text{OOS验证} \rightarrow \text{Multistage Policy} \rightarrow \text{State} \rightarrow \text{Backward Recursion} \rightarrow \text{Scenario / Markov生成} \rightarrow \text{电力交易实验台} }

这条主线最终把研究问题从：

“电价和负荷能不能预测准？”

升级成：

“在决策时点只能看到当时信息的情况下，怎样把预测分布转成可执行决策，并在样本外证明决策有经济价值？”

随机规划到底解决什么问题

随机规划不是主要解决：

“未来到底是多少？”

而是解决：

“未来还不知道是多少时，我现在应该怎么做；未来信息揭晓后，我还能怎样补救？”

最基本的时间结构：

\boxed{x\rightarrow\xi\rightarrow y}

其中：

$$x$$ ：第一阶段决策，必须在不确定性揭晓前做；
$\xi$ ：未来才揭晓、无法由交易员控制的随机信息；
$$y$$ ：信息揭晓后的第二阶段补救决策或结算变量。

判断变量身份时，先问：

这个量能不能由我控制？
它是在随机信息揭晓前还是之后确定？
它是动作，还是动作和随机结果共同产生的成本？

Two-stage Stochastic Programming

教学版电力采购问题

设：

提前采购价格：400 元/MWh；
实际负荷：

\xi= \begin{cases} 80,&p=0.5\\ 120,&p=0.5 \end{cases}

少买后补购价格：700 元/MWh；
多买后卖回价格：200 元/MWh。

第一阶段：

\boxed{x=\text{提前采购电量}}

第二阶段变量：

y^{buy}\ge0,\qquad y^{sell}\ge0

电量平衡：

\boxed{ x+y^{buy}-y^{sell}=\xi }

等价地：

y^{buy}-y^{sell}=\xi-x

其中：

$\xi-x$ 是第一阶段留下的净缺口；
$$y$$ 是第二阶段如何处理缺口。

Recourse 与 Recourse Cost

Recourse 是动作：

\boxed{\text{知道随机结果后采取的补买或卖出}}

Recourse cost 是动作产生的净成本：

\boxed{ 700y^{buy}-200y^{sell} }

卖出项为负，是因为卖出产生收入、抵减成本。

$Q(x,\xi)$ 是什么

给定 $$x$$ 和某个已经发生的 $\xi$ ，第二阶段会在所有可行补救方案中寻找成本最低的方案：

\boxed{ Q(x,\xi) = \min_{y^{buy},y^{sell}\ge0} \left\{ 700y^{buy}-200y^{sell} : y^{buy}-y^{sell}=\xi-x \right\} }

因此：

\boxed{ Q(x,\xi)=\text{第二阶段小优化问题的最优值} }

不是某一个任意 $$y$$ 的成本。

例如：

x=100,\quad\xi=120

最优补购：

y^{buy*}=20,\qquad y^{sell*}=0

所以：

\[Q(100,120)=14000\]

而：

x=100,\quad\xi=80

最优卖出：

y^{buy*}=0,\qquad y^{sell*}=20

所以：

\[Q(100,80)=-4000\]

负数表示第二阶段净收入 4000 元。

完整 Two-stage 目标

第一阶段也有成本，因此：

\boxed{ \min_x \left[ c^Tx+E[Q(x,\xi)] \right] }

在教学算例中：

\boxed{ \min_x \left[ 400x+E[Q(x,\xi)] \right] }

它同时比较：

\boxed{ \text{当前采购成本} + \text{未来最优补救的期望成本} }

为什么最优采购量不等于平均负荷

假设：

E[\xi]=100

但：

少买 1 MWh 的边际代价：

\[700-400=300\]

多买 1 MWh 的边际代价：

\[400-200=200\]

因为少买更疼，所以最优采购量可能高于均值。

因此：

\boxed{ x^* \text{ 由概率分布和不对称成本结构共同决定} }

而不是只由：

E[\xi]

决定。

Newsvendor / 提前采购模型

Newsvendor 是 Two-stage simple recourse 的经典特例。

设：

$$c$$ ：提前采购价；
$$q$$ ：需求发生后卖出的收入，或缺货时避免的高成本；
$$r$$ ：卖不掉后的回收价；
$\xi$ ：随机需求；
$$x$$ ：提前采购量。

多买一单位的两种结果：

若 $\xi>x$ ，该单位能发挥作用，收益为：

\[q-c\]

发生概率：

\[1-F(x)\]

若 $\xi\le x$ ，该单位买多了，损失为：

\[c-r\]

发生概率：

\[F(x)\]

最优点满足边际收益与边际损失平衡：

\[(q-c)[1-F(x)] = (c-r)F(x)\]

整理得到：

\boxed{ F(x^*)=\frac{q-c}{q-r} }

因此：

\boxed{ x^* = F^{-1} \left( \frac{q-c}{q-r} \right) }

也可以写成：

\boxed{ F(x^*) = \frac{C_u}{C_u+C_o} }

其中：

C_u=q-c,\qquad C_o=c-r

最重要的直觉：

\boxed{ \text{缺货代价越高，最优采购分位数越接近 1} }

这也说明：即使两个分布均值和方差相同，只要关键分位数不同，最优决策仍可能不同。

有限 Scenario 与 Extensive Form

若随机变量只有有限场景：

\xi_1,\ldots,\xi_S

概率：

p_1,\ldots,p_S

则：

E[Q(x,\xi)] = \sum_{s=1}^{S}p_sQ(x,\xi_s)

每个场景有自己的第二阶段变量：

\[y_s\]

但所有场景共享同一个第一阶段决策：

\boxed{x}

因为做 $$x$$ 时尚不知道最终是哪一个场景。

Scenario Tree 与 Non-anticipativity

Scenario Tree 的核心不是“画很多未来”，而是：

\boxed{\text{描述信息何时揭晓}}

若两个完整场景到阶段 $$t$$ 为止拥有相同的信息历史，那么：

\boxed{ x_t^A=x_t^B }

这就是 Non-anticipativity：

\boxed{ \text{相同信息历史} \Rightarrow \text{相同当前决策} }

判断方法：

站在决策时点；
只看当时已经可见的信息；
按可见信息把 scenarios 分组；
同组决策必须相同；
信息历史不同后，决策才允许分开。

Stage 不等于 Period

Stage 的边界是：

\boxed{ \text{新信息揭晓后，出现新的可执行决策机会} }

而不是每过一个时间点就增加一个 stage。

因此一天有 96 个价格交割点，并不自动意味着 96-stage。

若一天开始前只做一次申报，中途没有主动调整机会，则可以仍然是：

\boxed{\text{Two-stage}}

即：

\text{一次申报} \rightarrow \text{96点价格、负荷路径实现} \rightarrow \text{结算}

EVPI 与 VSS

定义三个世界。

Wait-and-See

提前知道真实未来后，每个场景分别优化：

\boxed{ WS=E_\xi\left[\min_x z(x,\xi)\right] }

Recourse Problem

不知道真实未来，但正确使用概率分布：

\boxed{ RP=\min_xE_\xi[z(x,\xi)] }

Expected Value Solution 的真实表现

先把随机变量替换为均值：

\bar\xi=E[\xi]

得到均值问题最优解：

\bar x

再把 $\bar x$ 放回真实随机世界评价：

\boxed{ EEV=E_\xi[z(\bar x,\xi)] }

对于成本最小化问题：

\boxed{ WS\le RP\le EEV }

于是：

\boxed{ EVPI=RP-WS }

表示完美信息的价值上限。

而：

\boxed{ VSS=EEV-RP }

表示使用完整随机分布做决策，相比只用均值决策的价值。

最重要的区分：

\boxed{ EVPI=\text{信息价值} }

\boxed{ VSS=\text{随机决策模型价值} }

风险中性、Chance Constraint、VaR 与 CVaR

风险中性模型：

\boxed{ \min_xE[G(x,\xi)] }

只关心平均成本，可能看不见尾部损失。

Chance Constraint：

\boxed{ P(G(x,\xi)>\tau)\le\alpha }

表示成本超过风险红线 $\tau$ 的概率不能高于 $\alpha$ 。

VaR 关心：

\boxed{\text{坏尾巴从哪里开始}}

CVaR 进一步关心：

\boxed{\text{进入坏尾巴后平均有多惨}}

对随机损失 $$Z$$ ：

\boxed{ CVaR_{1-\alpha}(Z) = \inf_t \left[ t+\frac1\alpha E[(Z-t)^+] \right] }

其中：

$$Z$$ ：某策略在不同场景下的潜在损失；
$$t$$ ：候选 VaR 门槛；
$$(Z-t)^+$$ ：超过门槛后的超额损失；
$\alpha$ ：尾部概率。

CVaR 如何嵌入随机规划

风险硬约束

\boxed{ \begin{aligned} \min_x\quad &E[G(x,\xi)]\\ \text{s.t.}\quad &CVaR_{95\%}(G(x,\xi))\le\tau \end{aligned} }

Mean-CVaR

\boxed{ \min_x E[G(x,\xi)] + \lambda CVaR_{95\%}(G(x,\xi)) }

其中：

$\lambda=0$ ：风险中性；
$\lambda$ 增大：更愿意牺牲平均表现换取尾部安全。

有限场景下，引入：

u_s\ge0

并约束：

u_s\ge G_s(x)-t

则：

\boxed{ CVaR = t+\frac1\alpha\sum_sp_su_s }

因此很多线性随机规划加入 CVaR 后仍然可以保持线性规划结构。

Efficient Frontier 与 Dominance

Mean-CVaR 实际上是两个目标的权衡：

\boxed{ E[G] \leftrightarrow CVaR(G) }

若策略 D 相比策略 C：

\[E[G_D]>E[G_C]\]

同时：

\[CVaR_D>CVaR_C\]

则 D 被 C 支配。

无论 $\lambda$ 如何变化，D 都不可能成为最优策略。

扫描不同 $\lambda$ ，可以得到：

\boxed{\text{期望成本—尾部风险有效前沿}}

Scenario Generation 与 SAA

Scenario Generation 回答：

\boxed{\text{场景从哪里来}}

例如：

历史路径；
Monte Carlo；
预测模型；
条件相似日；
Markov 状态转移；
聚类和场景压缩。

SAA 回答：

\boxed{\text{有了有限样本后，怎样近似真实期望并优化}}

二者不是同一件事。

SAA：Sample Average Approximation

真实问题：

\boxed{ x^* = \arg\min_{x\in X} E[F(x,\xi)] }

真实期望难以直接计算时，使用 $$N$$ 个样本：

\xi^1,\ldots,\xi^N

构造经验目标：

\boxed{ \hat g_N(x) = \frac1N\sum_{s=1}^{N}F(x,\xi^s) }

再求：

\boxed{ \hat x_N = \arg\min_x\hat g_N(x) }

在标准等权经验分布中：

p_s=\frac1N

固定 $$x$$ 只计算均值是 Evaluation：

\frac1N\sum_sF(x,\xi^s)

让 $$x$$ 变化并挑选最优，才是 SAA Optimization。

SAA 不是 Solver

SAA 负责：

\boxed{ E[F(x,\xi)] \rightarrow \frac1N\sum_sF(x,\xi^s) }

它只是把真实随机问题变成有限场景优化问题。

之后仍需要：

LP Solver；
MILP Solver；
L-shaped / Benders；
其他分解或优化算法。

因此：

\boxed{ SAA=\text{统计近似方法，不是求解算法} }

Scenario 的正确粒度

若随机对象是一天完整的 96 点价格路径，则一个 scenario 更自然地是：

\boxed{ \xi^d= (P^d_1,\ldots,P^d_{96}) }

而不是把 $200\times96$ 个价格点全部打散。

如果策略同时依赖日前和实时，则应尽量保留：

\boxed{ (DA_{d,1:96},RT_{d,1:96}) }

或价差路径：

\[RT-DA\]

原因是日前和实时之间的联合关系本身就是交易风险的一部分。

SAA 稳定性与样本量

对固定 $$x$$ ：

\hat q_N(x) = \frac1N\sum_{s=1}^{N}Q(x,\xi^s)

有：

\boxed{ Var[\hat q_N(x)] = \frac{Var[Q(x,\xi)]}{N} }

标准误差大约按：

O(N^{-1/2})

下降。

但：

\boxed{ \text{稳定}\neq\text{正确} }

若样本分布系统性偏离真实未来，样本量再大也可能稳定地错。

OOS、Walk-forward 与 Optimality Gap

不能用同一批数据既寻找最优策略，又证明该策略优秀。

应当：

\boxed{ \text{过去训练/构造场景} \rightarrow \hat x \rightarrow \text{未来未见数据评价} }

对时间序列，更适合 Walk-forward：

[1,W]\rightarrow W+1

[2,W+1]\rightarrow W+2

候选策略真实 optimality gap：

\boxed{ Gap(\hat x)=g(\hat x)-v^* }

其中：

v^*=\min_xg(x)

固定候选 $\hat x$ 后， $g(\hat x)$ 相对容易用大量 OOS 场景评价；真正的 $$v^*$$ 更难估。

SAA 的一个重要结论是：

\boxed{ E[\hat v_N]\le v^* }

不是每一次都保证 $\hat v_N\le v^*$ ，而是期望意义下样本内最优值具有乐观偏差。

统计上下界的严格推导需要结合 SAA 统计推断进一步展开。

Rolling Window、Conditional Scenario 与 Markov

Rolling Window

使用最近 $$W$$ 天：

D-W,\ldots,D-1

构造当前经验分布：

\boxed{ \hat P_D^{(W)} = \frac1W \sum_{d=D-W}^{D-1}\delta_{\xi_d} }

Rolling Window 主要解决：

\boxed{\text{市场分布随时间漂移}}

窗口太长：稳定但可能混入旧 regime。
窗口太短：贴近当前但估计噪声大。

Conditional Scenario

真正决策需要的可能是：

\boxed{ P(\xi_{D}\mid I_{D-1}) }

而不是无条件：

P(\xi_D)

Conditional Scenario 可以根据：

天气预测；
负荷预测；
新能源预测；
系统供需状态；
近期价格状态；

选择更相似的历史日，或给历史日不同权重。

Markov Model

若存在足够好的状态 $$s_t$$ ，使得：

\boxed{ P(s_{t+1}\mid s_0,\ldots,s_t) = P(s_{t+1}\mid s_t) }

则完整过去可以被当前 state 压缩。

三状态教学例子：

S_t\in\{T,N,L\}

分别表示：

$$T$$ ：偏紧；
$$N$$ ：正常；
$$L$$ ：宽松。

转移矩阵每一行表示：

P(S_{t+1}\mid S_t)

Markov 模型的关键不是“电价一定是一阶 Markov”，而是：

\boxed{\text{State 是否足够概括过去对未来的影响}}

Multistage Stochastic Programming

Two-stage：

x_1\rightarrow\xi_2\rightarrow x_2

Multistage：

x_1 \rightarrow\xi_2 \rightarrow x_2 \rightarrow\xi_3 \rightarrow x_3 \rightarrow\cdots

真正的解不是一串提前写死的数字，而是一套 Policy：

\boxed{ \pi= \{x_1,x_2(\xi_2),x_3(\xi_2,\xi_3),\ldots\} }

即：

未来看到什么信息，就采取什么动作。

State 是什么

State 不是完整历史，而是：

\boxed{ s_t= \text{截至当前，对未来预测、约束和决策仍有用的信息摘要} }

例如：

s_t= ( q_t, \hat L_t, \text{价格状态}, \text{供需状态}, \text{天气状态} )

若两段历史不同，但当前：

持仓相同；
后续可行域相同；
对未来的条件分布相同；

则 optimizer 不需要再区分完整历史。

因此：

\boxed{ \text{State 要足够，但不要冗余} }

Reality Forward，Optimization Backward

现实执行方向：

\boxed{ s_0\rightarrow a_0\rightarrow\xi_1\rightarrow s_1\rightarrow a_1\rightarrow\cdots }

Scenario 会随着信息揭晓不断收缩到真实路径。

但为了在今天选择 $$a_0$$ ，优化器必须先知道：

当前动作把系统送入的未来状态值多少钱？

因此内部计算从未来向现在进行：

\boxed{ V_T\rightarrow V_{T-1}\rightarrow\cdots\rightarrow V_0 }

Action Value 与 Value Function

定义某个动作的总价值：

\boxed{ J_t(s_t,a_t) = C_t(s_t,a_t) + E[V_{t+1}(s_{t+1})\mid s_t,a_t] }

其中：

$$C_t$$ ：当前动作成本；
$V_{t+1}$ ：从下一状态开始的最优未来成本。

状态价值：

\boxed{ V_t(s_t) = \min_{a_t}J_t(s_t,a_t) }

最优动作：

\boxed{ a_t^* = \arg\min_{a_t}J_t(s_t,a_t) }

所以：

\boxed{ \min\rightarrow\text{最优值} }

\boxed{ \arg\min\rightarrow\text{取得最优值的动作} }

Backward Recursion 的核心

Value Function 表示：

\boxed{ \text{State} \rightarrow \text{从该状态往后能够达到的最小期望成本} }

最后阶段先生成一个函数：

\[Q_H(s_H)\]

并不需要提前知道上层最终会留下哪个状态。

上一阶段的动作决定把哪个状态代入：

\[Q_H\]

于是：

\boxed{ \text{未来先告诉现在：你给我什么状态，我就告诉你以后最少要花多少} }

\boxed{ \text{现在再决定：我应该通过什么动作，把系统送到哪个状态} }

Ex-Ante Optimal 与 Ex-Post Optimal

Ex-Ante：

\boxed{ \text{在决策时点可见信息条件下的最优} }

Ex-Post / Oracle：

\boxed{ \text{知道真实未来以后回头计算的最优} }

因此：

\boxed{ \text{事后亏损} \neq \text{证明事前决策错误} }

一个决策可能事后亏损，但在当时的信息分布下仍然合理；也可能事后碰巧赚钱，但当时是一个高风险错误决策。

Scenario Tree Explosion

若每次信息揭晓都有 $$b$$ 个分支，共有 $$T$$ 次分叉：

\boxed{ N_{\text{leaf}}=b^T }

若各阶段分支数不同：

\boxed{ N_{\text{leaf}} = \prod_tb_t }

场景树规模随阶段指数增长。

但当历史样本只有约 200 个完整日时：

若每一天完整路径作为一个 Two-stage scenario，则只有约 200 条场景；
并不等于 $3^{96}$ ；
此时主要问题可能是条件样本不足，而不是算力不足。

Scenario Reduction 与 Aggregation

Scenario Reduction 的目标：

\boxed{ \text{用少量代表场景近似原始分布，同时尽量不改变决策相关信息} }

不能简单删除低概率极端场景，因为它们可能决定 CVaR 和对冲策略。

更合理的做法是合并对决策影响相近的场景，并重新分配概率。

对约 200 条历史路径，第一版实验通常没有必要为了算力立即做压缩；更适合把压缩作为敏感性实验：

200\rightarrow100\rightarrow50\rightarrow20

比较：

最优策略变化；
OOS 成本变化；
CVaR 变化；
决策是否稳定。

Moment Matching

Moment Matching 的思想是：

场景压缩后，尽量保持原分布的重要统计特征。

一阶矩

\boxed{ E[\xi] }

表示分布的平均水平。

二阶矩与方差

二阶原点矩：

E[\xi^2]

方差：

\boxed{ Var(\xi)=E[\xi^2]-E[\xi]^2 }

若压缩前后均值相同，但方差从很大变成 0，就说明风险结构被抹掉了。

三阶中心矩与偏度

E[(\xi-\mu)^3]

保留正负方向，可以反映分布往高价或低价一侧拖尾。

标准化偏度：

\boxed{ Skewness = \frac{E[(\xi-\mu)^3]}{\sigma^3} }

电价经常存在“平时正常、偶尔尖峰”的右尾结构，因此偏度和尾部信息对交易决策很重要。

Moment Matching 的局限

即使两个分布：

均值相同；
方差相同；
甚至部分高阶矩相似；

也不代表它们的关键分位数、尾部形状和最优决策一定相同。

Newsvendor 的最优解依赖：

F^{-1}(\kappa)

所以 moment 相同但分位数不同，仍然可能产生不同的最优采购量。

因此：

\boxed{ \text{匹配有限 moments} \neq \text{匹配完整分布} }

Wasserstein / Optimal Transport

Wasserstein 是 Moment Matching 之后的现代扩展工具。

它要解决：

给定原分布 $$P$$ 和压缩分布 $$Q$$ ，用新场景代表旧场景时，最佳概率匹配下仍然剩下多少分布误差？

离散形式的 1-Wasserstein：

\boxed{ W_1(P,Q) = \min_{\pi} \sum_{i,j}\pi_{ij}|x_i-y_j| }

其中：

\pi_{ij}

表示原场景 $$x_i$$ 有多少概率质量由新场景 $$y_j$$ 代表。

约束：

\sum_j\pi_{ij}=p_i

表示每个原场景的概率都必须被完整分配。

\sum_i\pi_{ij}=q_j

表示每个新场景最终承接规定的概率。

Scenario Reduction 可抽象为：

\boxed{ Q^* = \arg\min_{Q:\,|\operatorname{supp}(Q)|\le K} W(P,Q) }

即只能留下 $$K$$ 个代表场景时，让压缩分布尽可能接近原分布。

对当前 200 天数据，Wasserstein 主要是后续研究工具，不是第一版实验必须使用的组件。

历史路径与 Multistage Tree 的区别

Two-stage 中：

\boxed{ 200\text{ 个历史日} = 200\text{ 个完整经验 scenarios} }

可以直接使用。

但 Multistage 中，不能简单让每条连续历史路径在第一步后就独立分叉，因为连续价格前缀几乎不会完全相同，这会让模型通过“路径身份”隐蔽地知道未来。

正确节点应该表示：

\boxed{\text{当前时点真实可识别的信息状态}}

例如：

偏紧；
正常；
宽松。

同一节点下的历史路径必须共享当前决策，直到新的信息真正揭晓。

电力交易教学实验框架

一个完整的教学实验框架可以采用以下主链：

\boxed{ \text{事前信息} \rightarrow \text{场景生成} \rightarrow \text{SAA} \rightarrow \text{Two-stage Recourse} \rightarrow \text{CVaR} \rightarrow \text{Walk-forward OOS} \rightarrow \text{EVPI/VSS/Regret} }

主引擎采用：

\boxed{\text{Rolling-window Two-stage SAA}}

而不是在没有真实中间交易机会的情况下强行伪造 Multistage。

场景可包含：

\xi_s= ( P^{DA}_{s,1:T}, P^{RT}_{s,1:T}, L_{s,1:T} )

第一阶段申报：

\[x_t\]

第二阶段 simple recourse：

x_t+y^{buy}_{s,t}-y^{sell}_{s,t}=L_{s,t}

风险中性：

\min_x\sum_sp_sZ_s

Mean-CVaR：

\min_x \left[ \sum_sp_sZ_s + \lambda CVaR_\alpha(Z) \right]

实验台可比较：

Mean-value；
Risk-neutral SP；
Mean-CVaR SP；
Actual / Historical；
Oracle；
EVPI；
VSS；
Regret。

教学实验框架的边界

教学原型中的：

偏差结算；
申报上下限；
正负偏差价差；
爬坡约束；
合成数据；

均属于教学占位。

接入江苏真实数据前必须先完成：

\boxed{ \text{真实决策时点} + \text{当时可见信息集} + \text{真实结算公式} }

第一步应当是单时点人工对账：

\boxed{ \text{模型计算成本} = \text{公司真实结算成本} }

确认后再扩展到 96 点和 Walk-forward。

总公式速查

Two-stage

\boxed{ \min_xc^Tx+E[Q(x,\xi)] }

Recourse

\boxed{ Q(x,\xi) = \min_y\{q^Ty:Wy=h-Tx,\ y\ge0\} }

Finite scenarios

\boxed{ E[Q] = \sum_sp_sQ_s }

Non-anticipativity

\boxed{ \text{相同信息历史} \Rightarrow \text{相同当前决策} }

EVPI / VSS

\boxed{ EVPI=RP-WS }

\boxed{ VSS=EEV-RP }

CVaR

\boxed{ CVaR_{1-\alpha}(Z) = \inf_t \left[ t+\frac1\alpha E[(Z-t)^+] \right] }

SAA

\boxed{ \hat x_N = \arg\min_x \frac1N\sum_{s=1}^{N}F(x,\xi^s) }

Policy

\boxed{ \pi= \{x_1,x_2(\xi_2),x_3(\xi_2,\xi_3),\ldots\} }

Action value

\boxed{ J_t(s_t,a_t) = C_t(s_t,a_t) + E[V_{t+1}(s_{t+1})\mid s_t,a_t] }

Value function

\boxed{ V_t(s_t) = \min_{a_t}J_t(s_t,a_t) }

Markov

\boxed{ P(s_{t+1}\mid s_0,\ldots,s_t) = P(s_{t+1}\mid s_t) }

Scenario explosion

\boxed{ N_{\text{leaf}} = \prod_tb_t }

Wasserstein

\boxed{ W_1(P,Q) = \min_\pi \sum_{i,j}\pi_{ij}|x_i-y_j| }

复习题

A. 基础建模

为什么实际负荷不能是第一阶段决策变量？
Recourse 和 Recourse Cost 有什么区别？
为什么 $Q(x,\xi)$ 里面存在一个 $\min$ ？
为什么最优采购量不一定等于平均负荷？
Newsvendor 最优分位数由哪些成本决定？

B. Scenario 与信息结构

为什么 finite-scenario 模型中可以有多个 $$y_s$$ ，但第一阶段只能有一个共同 $$x$$ ？
Non-anticipativity 最核心的一句话是什么？
Stage 与 period 有什么区别？
为什么 96 个交割点不一定是 96-stage？
为什么连续历史路径不能直接自动变成可实施的 Multistage Tree？

C. 价值评估

WS、RP、EEV 分别代表什么世界？
EVPI 和 VSS 分别衡量哪一层价值？
为什么 Oracle 不能直接用来评价交易员绩效？
为什么事后亏损不能直接证明事前决策错误？

D. 风险

VaR 看见了什么，没看见什么？
CVaR 为什么比 VaR 更能区分极端尾部？
Mean-CVaR 中 $\lambda$ 的经济含义是什么？
什么叫一个策略被另一个策略支配？

E. SAA 与回测

Scenario Generation 和 SAA 有什么区别？
固定 $$x$$ 求样本均值为什么不等于 SAA Optimization？
为什么 SAA 不是 Solver？
为什么 DA 和 RT 不应独立随机拼接？
为什么不能在同一批数据上既找最优又证明最优？
Rolling Window 和 Walk-forward 分别在解决什么？
为什么“稳定”不等于“正确”？
为什么只能说 $E[\hat v_N]\le v^*$ ，而不是每次都 $\hat v_N\le v^*$ ？

F. Multistage

Policy 为什么不是一串提前写死的数字？
State 为什么不是完整历史？
Action 和下一状态有什么区别？
$$J_t$$ 与 $$V_t$$ 有什么区别？
$\min$ 与 $\arg\min$ 分别返回什么？
为什么现实向前运行，而优化内部向后递归？
Value Function 如何压缩未来整棵 Scenario Subtree？

G. Scenario Reduction 与 Markov

为什么低概率极端场景不能简单删除？
一阶矩、方差和偏度分别描述什么？
为什么 Moment Matching 不等于完整分布匹配？
Wasserstein 在 Scenario Reduction 中解决什么问题？
Rolling Window、Conditional Scenario 和 Markov Model 有什么区别？
为什么 Markov 模型最关键的是 state 设计，而不是“价格满足马尔科夫”这句话？
对约 200 天数据，为什么第一版更适合保留所有场景，而不是立即压缩？

进阶主题导航

掌握主干后，可以沿以下方向继续扩展。

数学最优性

为什么线性 recourse 的 value function 是凸函数？
为什么有限场景 deterministic equivalent 是全局可解的 LP？
Primal、Dual、KKT、Complementary Slackness 如何提供最优性证书？
Solver optimality gap 与 SAA statistical gap 有什么区别？

求解算法

L-shaped / Benders；
Feasibility Cut；
Optimality Cut；
Multicut；
Complete / Relatively Complete Recourse。

多阶段风险

Nested CVaR；
Dynamic Risk Measure；
Time Consistency。

分布不确定性

DRO；
Wasserstein Ambiguity Set；
场景概率估计误差。

江苏业务落地

真实结算公式；
真实决策机会；
中长期、日前、实时之间的业务映射；
可用负荷和价格预测；
交易量上下限和市场流动性。

最小记忆版

如果隔一段时间忘了，只先恢复这十句话。

随机规划研究的是：未来不知道时，现在怎么决策。
Two-stage 是：

x\rightarrow\xi\rightarrow y

$Q(x,\xi)$ 是给定 $x,\xi$ 后第二阶段最优成本。
Scenario Tree 描述信息何时揭晓。
Non-anticipativity 是：同一信息历史必须同一决策。
EVPI 是信息价值，VSS 是随机优化价值。
SAA 用有限样本均值近似真实期望，再对 $$x$$ 优化。
Multistage 的解是一套 Policy，不是一串提前写死的数。
Value Function 是：从当前状态往后能达到的最小期望成本。
电力市场第一版应先做真实结算对账和 Walk-forward Two-stage，而不是先追求复杂模型。

资料依据与边界

主要教材依据

John R. Birge & François Louveaux，Introduction to Stochastic Programming：

Chapter 1：Farming、Newsvendor、Financial Planning、Power Capacity Expansion；
Chapter 2：Decisions and Stages、Two-stage Fixed Recourse、Risk Aversion；
Chapter 3：Two-stage Properties、Chance Constraints、Multistage Recourse；
Chapter 4：EVPI、VSS；
Chapter 5：L-shaped Method；
Chapters 9–11：Approximation、Monte Carlo、Multistage Approximation。

Alexander Shapiro & Andy Philpott，A Tutorial on Stochastic Programming：

SAA；
Candidate Solution Evaluation；
Multistage Policy；
Risk-Averse Optimization。

Alexander Shapiro、Darinka Dentcheva、Andrzej Ruszczyński，Lectures on Stochastic Programming：

SAA 统计推断；
Risk-Averse Stochastic Programming；
Scenario Reduction 文献框架。

现代扩展

Wasserstein / Optimal Transport 不是 Birge & Louveaux 1997 版在当前章节直接展开的核心内容；它是在 Scenario Reduction 和 Distributionally Robust Optimization 中常用的现代分布距离工具。

教学边界

本文中所有简化电价、负荷、偏差价差和概率示例，只用于帮助理解数学结构。接入江苏真实数据前，必须以正式市场规则和公司结算结果为准。

本文为教学与研究笔记。简化价格、负荷、概率和结算结构仅用于解释模型；实际市场建模必须重新核验决策时点、可见信息集和正式结算规则。